“商不变性质在除法计算中的应用”的研究小结

海宁市长安镇中心小学  高子林

〖研究主题〗

1、如何根据学习主题、学习可能、学习目标、学习资源、教学能力等合理安排学习任务？

2、如何提高计算教学的有效性？

〖学情分析〗

本单元是小学生学习整数除法的最后阶段，而本课是学生基本掌握了除数是两位数除法和商不变性质后，对这两个知识的综合运用。

“商不变性质在除法计算中的应用”这一学习主题，与苏教版、北师大版等相比，人教版教材没有得到充分重视。苏教版安排了两个例题分别介绍了用“缩倍法”进行除法笔算中无余数与有余数两种情形；北师大版不仅专门讨论了用“缩倍法”进行无余数除法笔算的方法，还讨论了使用“扩倍法”简算除数为25、125等特征数的方法；而人教版只在练习十七与复习整理中对用“缩倍法”进行无余数除法笔算的方法作了简单介绍。客观上，学生缺失了完整认识这一数学知识、正确掌握这一数学技能的机会。主观上，我觉得既然掌握了商不变性质和用“缩倍法”进行除法口算的方法，现有的知识技能已经足以支撑其进行进一步的学习，完善认知结构。

为了准确掌握学生的基础与需要，确定其发展可能，我在学生学习了“商不变性质”后对四(1)班全部50位同学进行了前测。前测表明：

1、面对被除数和除数末尾有零的除法，86%的学生能根据已有知识和经验自发地采用“缩倍法”进行计算，充分显示他们运用商不变性质简化除法计算的愿望。

2、94%的学生能正确使用“缩倍法”根据上式写出下式的商(因为36÷12＝3，所以3600÷1200＝(   ))，74%的学生能正确使用“扩倍法”根据上式写出下式的商(因为1400÷100＝14，所以350÷25＝(   ))。说明孩子们已经初步具备运用商不变性质简化除法计算的意识。

3、部分学生不能使用“扩倍法”根据上式写出下式的商，原因多为不能正确感知“被除数与除数同时缩小了几倍”所致。

4、绝大多数学生对运用商不变性质时余数的变化认识不足，把“商不变”想当然地“合情地”推理为“余数不变”。只有张浩亮、金朴扬两位同学根据上式正确写出了余数的大小(因为79÷3＝26……1，所以790÷30＝(   )……(   ))。

5、周波、沈佳桦、陈尊屹三位同学不能正确再认商不变性质，出现了“被除数与除数同时缩小了10倍，算出商后再扩大10倍”的情况。

6、在对上一课的作业分析中，还发现：一些学生面对被除数与除数末尾的零的个数不一时，错误地消去了末尾所有的零。一个原因可能是对“缩小相同的倍数”的理解不深刻；第二个原因可能是受被除数与除数末尾的零的个数相同时的负面影响。

通过前测，我发现四(1)班学生具有学习“商不变性质在除法计算中的应用”的基础和需要，有认识和掌握这一本领的可能。但，课堂要特别关注学困生的发展和学习难点的突破。

〖设计策略〗

从课前的调查与分析中，可以很明显地感知到，本班学生对学习“商不变性质在除法计算中的应用”有一定的基础与需要；同时，学生个体间学习水平的差异也很大。如何在满足群体发展需要的同时，关注学生的个别差异，合理进行任务设计，有针对性地开展课堂学习活动，让学生成功学习、愉快学习，成为我主要考虑的问题。

一、把握重点难点

1、根据学习内容，本课的重点确定为商不变性质在除法笔算中的应用。

2、根据学生现状，本课的难点确定为应用商不变性质进行除法计算后，如何正确处理余数。

3、用“扩倍法”简算除数为25、125等特征数的除法确定为帮助学生打破思维定势、体验应用价值的材料。

二、分层细化目标

为了满足所有学生的不同基础与需要，我根据学生群体的发展可能确定了课时学习的三维目标，又针对学习任务的性质和学生的个别差异对学习目标进行分层与细化。

1、根据任务的性质，提出了分层目标。对使用“缩倍法”笔算被除数、除数末尾有零的无余数除法达到“熟练”的要求；对使用“缩倍法”笔算被除数、除数末尾有零的有余数除法达到“九成同学正确，其余同学帮助下完成”的要求；对使用“扩倍法”简算除数为25、125等特征数的除法达到“八成同学正确、合理，其余同学能看懂”的要求。

2、根据提高课堂学习效率的要求，精细分解学习目标。为使学习目标更具体、更可测，我把学习目标分解成了若干个具体的小目标，分别落实在各个学习任务中，并依靠学习活动逐一实现，以更好地实现所有学生的发展可能。

3、根据满足特殊学生的特殊需要的要求，制定个别化学习目标。在各个具体的学习任务中，我为周波、沈佳桦、陈尊屹等“量身定制”了完成各个学习任务的“小目标”，以期“积少成多”。

三、合理安排任务

1、复习明题。通过复习“商不变性质”和“缩倍法”口算除法，唤醒学生的认知，垫定进一步研究的基础，并扫除周波、沈佳桦、陈尊屹三位同学对“商不变性质”的错误认知。

2、用商不变性质简化除法笔算。通过研究1840÷230的计算，完成对“简化除法笔算”的方法、格式及过程的认知建构，学生能做到独立、正确的完成指定的学习任务。

3、研究应用商不变性质中余数的变化规律。通过用“简化的竖式计算”和常规的竖式计算的比较，聚集思维，最终得出“运用商不变性质计算除法，余数会跟着被除数和除数一起变化，而且变化的倍数相同”的结论。要得到原来的余数必须作“反向处理”。

如果A÷B＝C……D,　　　×a

那么(A÷a)÷(B÷a) ＝C……(D÷a)

4、巩固练习。通过变式练习，帮助学生巩固对“商不变性质”及“应用商不变性质后余数的变化规律”的认识。并试图用“扩倍法”打破学生思维与形式上的定势。

5、学习小结。回顾总结本课的学习要点。

6、课堂作业。

四、精心选择材料

教材并没有提供适合学习的材料，我根据实现学习目标、满足学习需要的要求，精心选择了学习材料。

1、用“800000000÷200000000=”难题不难的讨论，激活学生的认知、激发学生的兴趣，引出本课的学习主题。

2、用“练中带研”的方式制造矛盾冲突，引出学习材料。在引出用商不变性质进行有余数除法笔算时，制造了“同一道题目，不同计算方法，余数为什么不同？”的冲突，较好地聚集了思维，突破了难点。

3、用“变式”的手段，强化了学生对“缩小相同倍数”、“乘上缩小的倍数，找回余数”等的认识；打破了学生应用商不变性质时在形式（口算、笔算与递等式计算）和思维（除以同一个数和乘同一个数）上的定势。

〖实施体会〗

一、成功关注了课堂的生成与学生的学习进展。

1、在本课中，我始终以积极的评价，鼓励着学生的不断进步。

2、在本课中，我始终坚持了练习反馈“先正确后错误”的原则，让学生“先立后破”，用足“首因效应”。

3、在本课中，我把对学习困难学生的发现与指导放在了重要位置。学生活动时，我不停地穿梭于几个学困生之间，帮助他们扫除学习中的困难。同时，也积极地去发现其他学生在学习中产生的其它问题，以便及时解决。

二、基本达成了本课的学习目标，实现了学习可能。由于本课采用了“以主题定重点，以学情定难点，以发展定目标，以综合定任务”的方法，学习目标的制定比较到位，学习任务的执行比较有力，学习目标的达成度还是可以的。

三、低估了前面的学习对学生学习本课的负面影响。由于学生在学习除法口算时，采用“缩倍法”计算的比例很高，形成了“刻板效应”，很难改用“商不变性质”来叙述应用商不变性质进行除法计算的方法与过程。

四、高估了学生的能力，学习任务的设计不尽合理。

1、学生学习商不变性质已隔了一天，没有及时复习，造成了“快速遗忘”。

2、教材没有提供关于商不变性质的任何文字叙述，对学生数学语言的发展造成了困难，尤其是中下学生。

3、由于学生在研究“用商变性质竖式计算有余数除法”时，呈现出“余数变”与“余数不变”两种倾向，我没有再展示“不用商不变性质直接计算”的方法，造成学生对“余数跟随被除数、除数一起变化”的认识不足，从而在解决“因为770÷25＝30……20，所以7700÷250＝( )……( )”时，学生坚持说“余数是20”的尴尬局面。

对这个问题，由于作业中只有9人出现错误，虽然超过了10%的预定目标，但情况比课后的预期要好很多，我就觉得很奇怪，于是对学生进行了课后访谈。学生的回答，归纳起来有四种：

①切实没有理解“余数跟随被除数、除数一起变化”的规律，认知有缺陷。

②不是根据前面的式子推算的，而是重新进行了口算，而结果算错了。

③“从众心理”作怪，听到别人喊“20”，自己没主见，跟着喊“20”。

④感到是老师故意设计的“陷井”，想“避虚就实”。

4、高估了学生的语言表达和计算能力(速度与正确率)，学习任务设计过多。

虽然本课没有很好地完成学习任务，但这样的尝试是值得的。它提醒我们，当我们正确把握了学习主题、学习可能、学习目标的情况下，由于学习任务设计或学习任务执行上的疏忽，同样可能达不到有效学习的目的。