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数列中无非有两类项：奇数2n-1项与偶数2n项。问
题是发现有一类无穷数列{an}中的n=1，2，…的变域U中的奇数与偶数不可一一配对！故“U必是非0自然数集”是中学重大错误。故“初等数学领域绝对不可有重大革命发现”是重大误解。
1.常人也能识破的“掉包计”——级数发散≠其所有项的和不存在——欧拉大师有先知先觉
定义1：由一对对的数偶项组成的数列A=(项1，项2)，(项3，项4)，…={（项2n-1，项2n）}称为数偶列而有h性质：其每一奇数项a2n-1都有右邻项a2n与之配对。其第n=1，2，…对项（项2n-1，项2n）有A的两个项。
定义2：可成为数偶列的数列称为偶型数列，否则称为奇型数列。相应有奇、偶型级数。
显然凡有h性质的数列都可成为数偶列；去掉A中小括号后的A还是有h性质的原数列。无穷数偶列{（1，-1）}（各项都≠0）的所有项的和s=∑（1-1）=0是发散级数。s=0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”而与某极限是否存在及…没任何关系，而去掉式中的括号对“一样多”没任何影响。鲜明对比的是在等号两边加1或（-1）就打破了1与-1 “一样多”的格局使s±1=0±1=±1而≠0！两边再+一相应项就恢复了…。这是小学生都一说就明的最起码常识s啊！s-1≠0就证明其没有h性质。
张三脱去外衣后还是张三而不会变成李四，魔术是以假乱真。同理（1-1）+（1-1）+… =0只是去括号而没有任何其它改变后必还是原级数。凡违反此起码逻辑学常识的理论必是错误理论。
如[1][2]所述给定的级数w的项的多少是一定的，若将其两项的和作为一项得w′就非原级数w了。偶型w=∑（bn-bn）（括号内有w的2个项）=∑0=0，但bn≠0时，w与∑0是2个根本不同的级数！虽然它们都表示一个数0。故课本与科普书张冠李戴地说w的各项都=0是常人也能识破的百年“掉包计”，是削足适履的百年常识性错误。
应试教育和"尽信书"会使人丧失正常思维能力。例如小学生都知道各项都是a≠0的P=a+a+...的各项都-a就得p-p=0啊！然而有不少人却不是以活生生的事实为准而是以死的书本为准而否认此事实。“顶峰”论“科学终结”论扼杀科学的飞跃发展。极显然客观事实：凡满足h条件“每一项都只有一个它的相反数项同在和式中与之配对”的级数必=0。故任何级数的各项都可+其相反数而得…。而p-p=0又表明p是数！
若{an}的项与{bn}的项一样多则两者可合并为{（an，bn）}的所有项的和∑（an+bn）=0——当an=-bn时，不论其是否发散。故发散的∑（n-n）=0，发散的a+∑（n-n）=a，…。故标准分析一直认为无穷多个数相加是不能完成的，其实是极片面认识。世界数学大师欧拉在一片反对声中超越前、后人地“顽固”坚信：任何级数不管是否发散都有一个确定的和或值。（张文修《数林漫步》25页，陕西科技出版社，1984）
据常识s，s-1=-1+∑（1-1）≠0的唯一原因是式中的奇数项-1与偶数项1不一样多——这充分表明：
2.存在奇数项与偶数项不一样多的数列、级数——推翻百年自然数公理
如[1][2]所述，非0自然数列N+=（1，2），（3，4），...
的奇数与偶数能一一配对而无一“单身”，而其各项都由
n变为y=n+1后再增添新首项1得：
1，（2，3），（4，5），…=N′

中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故N′是似是而非的假N+！——由认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的N′竟须历时5千多年！且y=n+1>n=1，2，…（数列N+）也一目了然地表达y必可>N+的一切n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N+的一切n，N+是N′的一部分。可见“有胡子的，不一定是爹。”0，1，2，...，n，...不一定是自然数列！故可据常识s得h推论：给偶型数列A增或减1（或奇数2n-1）个项得数列B的各项就不可一一配对了。故给N+增添新首项0得奇型：0，（1，2），（3，4），...=N是自然数列，故N+的各项都由n变为n-1后得偶型的（0，1），（2，3），... 是似是而非的假N——其是N的一部分。
这石破天惊地表明有一类形如a+∑（an+bn）的级数没有h性质！因其首项a只能“单身”，除非...。
数列M=0，1，（2，3），（4，5），...中的括号比数少，M的数都不动而各括号同时左移一段距离得（0，1），（2，3），... ——似是而非的假象：括号无中生有地变多得可与数一一配对了。“肉眼数学”一直被无穷现象的表面假象迷惑，就如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。人有逻辑推理能力，慧眼能洞察到：若不增加括号则括号无论怎样改变位置都绝不能与M的数一样多，或…。
3.常人无力识破的“掉包计”——此交错级数a-a+…
非彼交错a-a+...
定义3：奇数项为x≠0，偶数项为-x的级数称为对称级数。
据常识s，①对称级数若≠0就说明其是奇型的——即其正数项a与负数项-a不一样多。②偶型级数增（减）奇数个项就变成奇型级数了。
常规数学否定偶型s=1-1+1-1+... =0的理由之一：s也可=1+（-1+1）+（-1+1）+... =1，...；故其不能表示一个数。其实据对称级数1+∑（-1+1）=1是奇型的（见①）就知其不是s！在这里数学“玩”了个超科学才能识破而常规科学无力识破的近300年“掉包计”：将无h性质的伪s与真s混为一谈。真相是s≠1+∑（-1+1）。
级数论在没有证明对称级数1-1+1-1+...有h性质前就断定其可加括号为∑（1-1）=0；…；是常规科学无力识破的近300年错误。科学有两类：一为常规科学，另一是远超常规科学的超科学。
4.结语
医学不知血有血型就会医死人，数学不知集（级数）有奇、偶型之分就有中学重大错误：将两异数列（级数）误为同一数列（级数）而将部分误为全部地搞错变量的变域，进而推出更重大错误：“部分可=全部”；…。
参考文献
　　[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，...，n，...}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
　　[2]黄小宁，不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[J]，科技信息，2009（32）.
[3]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由[J]，科学中国人，2009（4）。
[4]黄小宁，极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）。
　　[5]黄小宁，中学极显然重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2010（7）。
[6]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267
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0、导言：中学重大错误：将两异集误为同一集——可视其为0而忽略的x→∞可取一切正数？
足球体积x+地球体积kx≈0+kx。A式
（y=kx）+x≈kx+0>>x（D的任何元）>0
中可→∞的x被限制于总只能是y的1/k，相比下实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略，表明其变域D内各数x<<kx相比下全都是距0太近从而可视其为0而忽略的极小正数。故D绝不可包含全部正数而只能含一小部分！中学数学断定A式及相应x+kx+k2x≈0+0+k2x>>kx>>x>0，…中可视其为0而忽略的x可取一切正数，D含所有正数，是违反近似计算起码常识“若P可取一切正数就绝不可视其为0而忽略”的重大错误而将一小部分误为全部。使康脱…。孤立片面地仅与“任意给定的”正数M相比，使人误以为可视其为定数0而忽略的x→∞可任意变大取一切正数。
科学极不发达期地球的极伟大性掩盖了它的极渺小性，数学极不发达期无穷大（小）的…掩盖了其也有被限制于相比下总距0太近（远）的另一面;从而产生逻辑悖论。
由大到小变化的变量比比皆是，例如飞机降落时的高度。数轴是由一个个点有序而非杂乱无章排列为“一行队”地聚集而成的。沿数轴正（负）向滚动的质点的坐标x是由小（大）到大（小）取值的。若数集A＝B则显然A的各元与B的各元必由小（大）到大（小）一一对应相等。增函数y=2x中的点x由大到小地取一个个数x就派生出从大到小的一个个 2x。
D的各数x都作同一性质的重大改变：由x扩大为kx=y，得以y为元的集Z显然与D有重大差别：D从小到大的各元x与由其派生出来的Z内从小到大的各元 kx一一对应有同一重大差别：每一 kx都k倍于x。由Z的元的来源可推知D的各元不可与Z的各元从小到大一一对应相等，从而必D≠Z。连D≈Z也远谈不上。形成鲜明对比的是D各元x都作同一性质的几乎无改变的改变：由x变为1.00…01x=cx≈x得Z′虽≠D但却几乎还是D。由x 与cx几乎是同一变数（变域为D的直线y=x与变域为Z′的y=cx几乎重合），推知其变域几乎是同一集。
可见如[1]所述，中学数学凭直观断定D=Z，是搞错了变量变域的重大错误——推翻了自有直线函数概念几百年来一直认定的：D=Z。而相比下断定Z′=D就不算什么错误。
A式中：y可>>D的任何元x而取D外正数；而x被限制于是y的反函数使其不能不受任何限制地取正数这个因，造成了x不可取全部正数这个果。凡视力正常的人都能一眼看出光身的皇帝光身啊！
如[2][3]所述，康脱的集论使数学偏离“正确反映现实世界、宇宙的空间形式和数量关系”的健康发展轨道而被与客观实际格格不入的“部分可=全部”的“高深”理论所统治。使群众对数学望而生畏、敬而远之。“高深”理论对经济建设、造福人类不但无益，而且还有极大阻碍作用。1908年著名数学和物理学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：下一代人将把集论当作一种

疾病，而且人们已经从中恢复过来了。（张锦文等《连续统假设》20页，辽宁教育出版社，1988）。
注意到这是集论问世30年后的预言，故有非凡科学洞察力的庞大师是对集论起码思考研究了20年才力排众议地慎重作出此经深思熟虑的天才预言的。在一片叫好声中，天才大师超越时代地清醒坚信：凡不合实际违反真正物理常识的理论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认的“真理”的回天力。
由认识自然数到发现本文推翻集论的论据：此｛n｝≠彼｛n｝，竟须历时5千年！发现的异常艰难性由此可见一斑。这就使伟大预见也难免有偏差：大师的下一代人还没有…。
一、级数发散≠其所有项的和不存在
若{an}的项与{bn}的项一样多则两数列可合并为{（an，bn）}的所有项的和∑（an+bn）=0——当bn=-an时，不论其是否发散（bn是第2n项，an是第2n-1项）。
w～Q表示级数（集）w的项（元）与Q的项（元）一样多。两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U增一元得U+｛a｝就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。
标准分析一直认为无穷多个数相加是不能完成的。其实这是极片面认识。例如所有非0整数的和H=（1-1）＋（2-2）＋…=(项1+项2)+(项3+项4)+…＝-H=0，尽管其前n项和的极限不存在。同样，发散级数c+H=c+0≠0表示一个数c。
奇数项为1偶数项为-1的发散级数s=（1-1）+（1-1）+… =0的唯一原因是和式的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响（显然若交错级数-a+a-a+a-…“一样多”则其必=0）。形成鲜明对比的是在等号两边±1就打破了1与-1可一一配对的格局，致使s±1=±1+∑（1-1）=±1，两边再+一相应项就恢复了…。显然w=a+∑（an+bn）的各项不可一一配对！即其奇数项与偶数项不一样多！
这石破天惊地表明：并非各级数都有性质1：各项可一一配对。没有先进的检测工具和方法就察觉不出此桶水仅比那桶水多一个水分子。同样，…。
二、｛a｝+G必比G多一个元——级数论有几百年重大错
误认识
h定理1：无穷集（级数）G（G′）每增（减）一元（项）
得G′（G）必比G（G′）多（少）一元（项）。
证：P＝｛0，1，2｝与T=P+｛3｝的一部分P对等表明T的元多于P的元。同样“给两组无穷大数列中的各个数一一配对。…；如果有一组还有些数没有配出去，这一组就比另一组大些，”（暴永宁译《从一到无穷大》12页，科学出版社，2002）G～G。给G增一元a得G′＝｛a｝+G显然不～G：G′的一部分G的各数x与原G所有元x一一对应结成数偶（x，x）就将原G的元全都给结合光了，G′还剩下一元a无“配偶”∈原G，表明G′比G多含一个元；又因比G′少一元的G是G′减一元a而得的，故…。证毕。
自识无穷现象几千年来一直对以上重大真相一无所知，使级数论几百年来一直有重大错误认识：级数1-1+1-1+...。如果改变运算次序并把这些项成对组合起来：（1-1）+（1-1）+…，就得到一个仅以0构成的级数。但是，…。（朱梧槚等译《无穷的玩艺》125页，南京大学出版社，1985）造成自相矛盾的一片混乱的症结是：百年集论及之前的数学误以为所有级数的项都一样多和都有性质1。
三、此｛n｝的元n多于彼｛n｝的元——识破5千年假
象
定义1：各元可一一配对的集称为偶型集，简称偶集；其余的是奇（型）集及空集。相应有奇、偶型级数、数列。
不知集有集型之分就会犯致命错误：将两异集误为同一集——导致全盘皆错的最重大根本错误。据定义1显然有
h定理２：异型的集必不相等。即若U的元可一一配对，而V的元却不可，就说明两者不是同一集。
一目了然：元素为序号数n的奇集N′=｛1，（2，3），（4，5），…｝内：偶数与奇数不一样多！正整数集N是偶集。
奇集｛1，2，3，…｝=N′
偶集｛1，2，3，…｝=N
中的N′ÉN是N各元n都+1得Z={2，3，…，n+1，…}的真扩集{1}+Z=｛1，2，…，n，…｝。据h定理1N′={1}+Z比Z～N多一个元——意味N′中有一N外序号数n>N的一切n！
h定理２拨开5千年迷雾地说明“N′= N”是自识自然数多得写不完5千年来一直无人识破的似是而非的假象——使康脱脱离健康误入百年歧途：据N各元n的斜上方都有n+1∈N′，…而断定…，使人们否定h定理1而坚信：谁说推翻了集论谁就是想出名想到疯了！
说奇型的-a+（a-a）＋（a-a）＋…=-a=-1010也有性质1
就无异于说其＝∑（-a+a）=0——极荒唐错误。
四、末项定理：各无穷级数各～相应{1，2，…，n，…}
分别都有末项
证1：据h定理1任一形如Q=｛n｝的所有元n都+1得{2，3，…，n+1，…}=Z的真扩集Q′={1}+Z=｛1，2，…，n，…｝比Z～Q多含一个序号数n。故Q′中的Z={n+1}必有一Q外数元n+1>n∈Q，其中的n∈Q显然就是Q的最大数q——其后继n+1不∈Q。证毕。
证2（见[2]）。证3（见[3]）。
可见，级数的项多得写不完≠其没有末项，正如1与2之间的实数多得写不完≠…一样。
据末项定理，①N有最大元n=n是无穷大自然数——推翻自然数公理和集论的论据：N各元n都有对应n+1、2n、…∈N。②推翻级数论中黎曼的“更序定理”。③{1/3n }有末项1/3n=b是[2][3]所说的柯赫雪花等边无穷多边形的边长。…
五、末项定理使2500年芝诺悖论迎刃而解
几何常识：沿数轴滚动的点由位置b处运动至a处必遍
经两处之间的一切位置之后才能到达a处,虽然2处之间有无穷多个位置。由大到小取值的x≥0必取尽变域内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了才取0。关键是要讨论距离函数的问题！稍有一点头脑的人都知道若由大到小取值的距离函数x→0每取一正数x都必有下一个正数x/2要取，即其取正数的过程没完没了，则其绝不可取0。
数学有定理断定沿x轴运动由大到小取值的点x≥0从1→0的过程中总与0至少相隔一正数点x/2∈其变域U，显然就是断定其永不能取光U的正数——从而更不能取0——非常尖锐的前后自相矛盾！——如引起数学危机的2500年芝诺悖论深刻揭示数学不能真正用数表达运动。集论更断定任何含两端点的直线段都包含一样多个点。
在一片否认声中，数学、物理学家兰佐斯代表少数人独具慧眼的观点：不能否认，我们碰到了一难解之谜。…。我们观看一运动的物体从位A移到位B，但却不了解这是怎样发生的。…。聪明的芝诺曾用他那…著名悖论非常形象地描述了连续性的这种矛盾的本质。（兰佐斯《无穷无尽的数》157页，中译本）。不能用数表达质点如何从位A移到位B的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段。
症结是已认识的数的全体还远不够用、远不能满足实际需要，是标准数学对变数的变域的认识有重大缺陷与错误。
在x轴跳动的质点x由x=1处不断跳动靠近点x=0，其到x=0处的距离p（n）=0时质点就到达x=0处了。芝诺悖论的“二分法”说：若p所有能取的正数由大到小为：1，1/2，1/4，…，1/2n，…（n的变域为Q）；说此无穷数列L没有末项显然就是说质点不可动至x=0处。据末项定理p取L的末项后就只能取0了（注，p（n）=0中的n不∈Q而没对应的1/2n∈L）。限于篇幅这里对破解芝诺悖论只能挂一漏万.
集论使当代不少“内行”的科学洞察力远不如2500年前的芝诺，不少人甚至歪曲芝诺悖论的原意，与兰佐斯截然相反地将有过人科学洞察力的科学家斥之为诡辩家。
六、结束语
科学革命的特征就是推翻举世公认的“真理”。天才庞加莱和兰佐斯之所以分别能先知先觉100年和独具慧眼识芝诺，缘于其敢于独立思考不迷信盲从举世公认的权威定论——中国学生最缺乏的大无畏精神（应试教育及学阀现象扼杀这种精神）——诺贝尔奖与我们无缘的重要原因之一。
“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！显然真正建立在集论之上的理论必是错上加错的更重大错误。
参考文献
[1]黄小宁， y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究（专辑），2002（2）：42。
[2]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[3]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[4]黄小宁，再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库，北京：中国大地出版社：2004.10:814
[5]黄小宁，一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
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