2006年1月12日晚上，王永老师应《福建教育》教学110网站的邀请，参加他们以“数学化”为主题的网络交流，帮助解答第一线教师的一些困惑或问题。下文是《福建教育》编辑钟建林根据这次网络上的对话编辑、整理的成果，对于广大一线教师深理解新课程理念，提高课堂教学的实效很有价值。现转发如下，并对王永老师、钟建林老师致以诚挚的谢意！地址:http://eblog.cersp.com/userlog/6580/archives/2006/9590.shtml

1．数学化的内涵是什么？

数学化是弗赖登塔尔数学教育思想的核心。在弗赖登塔尔看来，数学化有横向数学化和纵向数学化之分。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。也可以这样理解：横向数学化的产物是生成生活与数学的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。

2．如何处理好横向和纵向数学化的关系？

弗赖登塔尔原来并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。原因是如果用双重的二分法分别从横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成四种类型，且分别对应着的哲学观：①缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；②横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；③横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；④横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。当下我国基础教育数学课程改革倡导现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。数学课要上出数学味。选择横向的和纵向的数学化两个标准，来设计和分析数学教学，会帮助教师更好地理解自己教学设计的明确的或含蓄的意图，防止数学教学偏离现实主义的正确道路。

3．数学化更注重生活数学化，还是课程内容数学化，或者其他？

数学的根源在于普通的常识，在于学生已有的生活经验。数学教学要通过数学活动让学生亲身经历对现实进行数学化的过程，使数学变成他们自己“再创造”的产物，而不是成人强加给他们的东西。所以，数学化是学生自己的活动，不是教师的活动；数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。教师的责任是创设适合进行数学化活动的具体的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。

3．您在讲座中提到数学化的各个方面，如抽象化、图式化、形式化、语言描述等等。能否结合实例谈谈？

小学一年级学生怎样学习加法呢？首先，要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几支铅笔？其次，指导学生参与活动：①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；③数一数你的本子上一共画了几个小圆圈？④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义？让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：2＋3＝5或3＋2＝5，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数或运算符号的意义。进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构。

4．数学化是数学教学手段、目的？

课程标准强调的：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，也就是经历横向数学化的过程。我所理解的“数学化”，既是数学教学活动的目的，也是实现目的的手段。

5．数学化是否就是培养学生的数学建模思想？数学化和模式化有怎样的关系？

数学建模只是数学化的一个方面，它关注的是横向数学化，并不是数学化的全部。将实际问题抽象成数学模型，这个“模型”是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。

数学活动的思维对象是客观世界的数量关系与空间形式，是客观存在的模式与秩序。这些思维对象是通过数学化活动不断被创造、被认识、被掌握的。在弗赖登塔尔的术语中，我没有看到他说过“模式化”。如果模式化是指不断发展的客观现实的组织化、图式化、结构化的过程，那么模式化就是数学化活动的一种产物——不断丰富的数学结构（数学事实或数学活动经验）；如果考虑到语言和符号，数学化还会导致数学形式上的发展，即不断进步的形式化、算法化、符号化。

6．数学化与纯数学之间有什么联系与区别？

所谓纯数学，如果是指脱离了现实背景的抽象的形式化的数学理论与方法，它就是纵向数学化所要生成的东西。对数学模型进行形式的数学处理，就是一种纵向数学化的过程。

7．发展学生的思维与数学化是否是同一回事？

王：发展学生的数学思考能力无疑是数学课程的基本目标之一。发展数学思维能力包括抽象思维、形象思维、统计观念、合情推理能力和初步的演绎推理能力等。发展学生的思维与数学化虽然不是同一回事，但可以肯定，学生亲身经历数学化的活动也是发展学生思维的过程和动力。

8．请您结合具体情境谈谈数学化过程是怎样促进学生思维发展的。

布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知。这三个发展阶段对应着儿童思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平。

新世纪版一年级上册第72页的情境：在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶，一共有几瓶牛奶。这个问题可以抽象成一个简单的数学问题：9和5合起来是多少？从实际问题剥离出简单的数学问题，就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构，建立数学模型的过程，是横向数学化。接着，列出算式“9＋5”，探索：9＋5应该怎么计算？这是纵向的数学化活动，是创造算法化的过程。算法化意味着把算法的证明留给学生自己，而不是教师把证明好的现成的简捷的算法教给他们。因此算法化就涉及到一个动态发展的图式化的过程。处在动作认知水平的学生，可能会先数出9根小棒和5根小棒，然后合在一起数，得出14根，他们利用实物的图式，还摆脱不了数数的具体操作；处在图形认知水平的学生，可能会先画出两堆小圆圈，一堆9个一堆5个，然后从5个一堆的圆圈中划出1个小圆圈并到另一堆，变成10个一堆和4个一堆，得出14，他们利用图形的图式，已经摆脱了动作，可以借助表象进行思维了；处在符号认知水平的学生，可以进行抽象的思维：9＋1＝10，10＋4＝14。他们利用符号的图式，有良好的数感和符号感。将不同算法展示出来，利用差异的碰撞，促进学生个体反思，促使认知水平比较低的学生获得感悟：利用图形比小棒简便，利用符号又比图形简捷。

数学化的一个十分重要的方面就是反思自己的活动，从而改变看问题的角度，这是学生思维得以持续发展的内因。认知水平比较低的学生虽然不可能创造出超越自己认知水平的算法，但可以通过模仿他人来改变自己的思维方式，掌握更好的算法。维果茨基认为，学习的本质是基于模仿为基础的沟通过程；在学生最近发展区框架内，模仿并不是消极的，它同样具有建构的意义。

9．生活化是优化数学教学的有效途径，但有人强调数学教学不能长期停留在生活化的层次上，要让学生学会数学地思考。是不是说生活化和数学化是两个不同的层次？如何协调生活问题数学化与数学问题生活化的关系？

什么是数学知识？课程标准明确指出数学知识包括数学事实和数学活动的经验。数学事实具有客观性，是公共知识；而数学活动的经验是因人而异的，是主观的个人化的知识。值得我们追问的是，它们是怎样产生的？又是怎样发展的？它们是怎样被人类创造出来，又是怎样被后人掌握的？无论是数学事实还是数学活动经验都是将数学作为人类一种活动的成果。今天，我们学习数学不必重复人类创造数学的历程，但却可以通过数学化的活动去经历和体验数学知识是怎样从生活经验与常识中提炼和升华而来的；去经历和体验数学知识是怎样发展、丰富起来，并逐步得到系统化和合理化的；去经历和体验数学知识是怎样被广泛应用的。数学化的对象不是别的，就是学生的生活现实；数学化活动把数学知识发生、发展与应用的各个方面贯通起来；数学化本身已经把密切数学与现实生活的联系涵盖其中。

我想，了解数学化内涵的人不会赞成“数学知识生活化”。因为，纵向的数学化活动是在数学符号世界里进行的，它是通过解决数学知识内部的矛盾或问题来发展数学的过程。指导学生进行数学化活动有两个基本原则：一是在学生当前的现实中选择学习情境，使其适合于横向的数学化。这就是为什么新世纪（版）教材采用如“小熊购物”、“玩具”、“动物园”等情境性的课题名称的原因。二是为纵向的数学化提供手段和工具。纵向发数学化活动也要提供问题情境，只不过它是用数学自身的素材来创设情境的。

10．请您结合具体实例谈谈如何用“数学自身的素材来创设情境的”，进行纵向数学化。

如新世纪（版）小学数学三下《找规律》，就是从算一算三组算式开始的，计算后得到三组等式：

5×1＝5      3×2 ＝6     12×4＝48

5×10＝50    3×20＝60    12×40＝480

50×10＝500  30×20＝600  120×40＝4800

这些有序排列的三组等式构成了纵向数学化活动的一个起点。指导学生有序地观察这些等式，发现蕴含其中的形式规律，并尝试用语言描述自己所发现的规律。发现规律的目的，就是为了运用它更快捷地进行整十数与整十数的乘法运算。但为什么这么有用的规律教材又不明确地用文字表述出来呢？这里涉及到数学化的另一个重要的方面，即形式化。所谓形式化，是指对语言的整理、修正和转化的过程。形式化的过程也是要让学生用个性化的语言来描述发现的规律，开始的描述也许不准确、不完整、不简练，但通过合作交流与个体反思，可以达到澄清思、纠正错误、形成正确的语言描述的目的。

11．师大版教材每个课题都联系生活创设情境，联系实际提出问题。一个学期下来，学生会编、会背口诀，却不会运用口诀解决实际问题了。如“一根跳绳3元，24元能买几根”，列式时学生不知道是用乘法还是用除法解决问题。这是为什么？

由于对张老师实施教学的过程缺乏了解，所以很难能客观地分析产生上述现象的原因。不过从现象看，学生也许是没有真正弄清楚乘法与除法的意义或结构。新世纪（版）的小学数学，是把数与数的四则运算以及“倍”的关系作为思维对象来处理，而不是作为概念来教学的。许多心理学家和教育学家仍把认知发展看作概念的获得，但弗赖登塔尔不以为然。他说，通过概念获得的认识只是一种表面的认识。“不幸的是，教学概念看起来比纯粹的教学更加尊贵，教学概念好像是创造了可以对所学的是什么增加了更多理解的假象。”在他看来，我们得到对现实把握的有效途径，是通过结构化而不是概念的形成。他说，“对于大多数人的大多数情况来说，教与学的基本的最终目标是思维对象。我特别喜欢这个术语，因为它可以被外推出另一个术语，描述这些对象是如何地被掌握的，这另一个术语叫做思维操作”。通过大量的思维操作去体会和掌握乘法、除法运算的构成。从北师大版小学数学教材乘法与除法起始单元的名称“数一数与乘法”、“分一分与除法”就表明了这样的编写意图。

其次，可能在解决实际问题的教学中，学生也许没有真正经历和体会其中的数学化过程：

从“1根跳绳3元，24元能买几根”能提出一个简单的问题：从24中能分出几个3？或者24是3的几倍？这两个简单的数学问题都揭示了实际问题中蕴含的数学结构——除法结构，进而列出除法算式：24÷3，至此完成了横向数学化。利用口诀求商，得到数学问题的解8，这是纵向数学化。再回到实际问题的情境，解释和检验这个抽象的解8的实际意义，做出实际问题的答案。这个过程也反映了从具体到一般，再从一般到具体的人类认识真知的辩证的道路。

12．过分强调数学化时，会不会使得数学的学习难度系数加大？教学中该任何处理好平衡？

我以为当下小学数学教学中的数学化主要的问题不是过分了，而是不到位。弗赖登塔尔强调数学教学要指导学生参与到数学化的再创造的活动中去。他说，“既然一个聪明的年轻人能再创造出许多他自己的数学，那些不太聪明的孩子为什么就不能在别人——成年人或他们的同龄人的帮助和指导下也这么做呢？”他为自己的数学教育主张提出三点理由：首先，知识和能力，如果是通过自己的活动获得，就比别人强加的要掌握得更好，也更具有实用性。第二，发现是一件令人愉快的事，所以通过再创造进行学习的是有促动力的。第三，它促进了将数学作为一种人类的活动来体验的观念的形成。

数学教学需要向学生提供现实的、有数学意义的、富有挑战性的问题情境，向学生提供充分的主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动的机会，鼓励他们抓住机会去追求、去攀登、去钻研，从而达到他们力所能及的高度和深度。弗弗赖登塔尔说，“指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡” 。这里，如何把握学习内容的难度是不能回避的问题；把握难度的标准只有一个：立足于学生的最近发展区进行教学，即必须在学生最近发展区的框架内创设问题情境，指导学生进行数学化活动。“走在发展的前面的教学”，才是有效的教学。

13．数学化是数学活动的应有之义，创设数学活动让学生经历数学化的过程，要注意什么？

我在前面谈到指导数学化活动的两个基本原则。此外，还要注意三个问题：第一，处理好课前预设与课堂生成的关系。这要求一个相互作用的教学系统，其相互作用不仅体现在一种班级与教师的关系上，并且甚至可能更多地体现在学生与学生之间的一种相互关系上。这种相互作用是课程资源不断动态生成的课堂机制，这种生成不仅包括学生的解法的再创造，也包括问题的再创造。这就要求教师应具有教育机智，能够随机地捕捉、把握、重组课堂信息，并发挥有效的“即兴操作”，促进教学深层地互动与发展。没有课堂的动态生成，也就没有学生的发展。第二，通过数学化获得的知识与技能，需要通过练习或训练达到巩固或熟练。但过早的训练，过多的训练，为训练而训练，也会威胁和危害学生创造性与洞察力的保持。因此，在创设让学生经历数学化的活动中，需要设计如何把把再创造与训练紧密地结合起来，也就是使学生经历数学化活动的每一步都包含着再创造与训练两个方面。第三，数学化容易被其结果湮没，即结果一旦被掌握，人们很可能就不理会它们的来源，记忆了学习过程。但学习过程有它们自身的价值，它们应被保留在记忆中，以保持创造性与洞察力。为此，需要让学生在他们的学习过程中进行反思，语言表达与师生交流能够加强建立反思的机会。

14．数学化应该是一个过程，这个过程主要包括哪些环节？

数学化的过程无疑具有多样性和丰富性，它没有固定不变的程式和套路，从上面所举的数学化的教学实例中，既有横向的数学化，也有纵向的数学化，还有横向与纵向交替的数学化。至于它主要包括哪些环节？我以为有答案还不如没有答案，因为这样可以避免把生动、丰富的数学化变成简单化模式化的机械操作。我以为重要的是理解数学化的内涵，理解数学化所蕴藏的一种教育精神。任何一种教学方式或方法，如果忽视了它背后的教育精神，最终它都会异化为驯兽式教育的工具。通过创造一个个数学化的教学案例，去解决我们在数学课程改革中遇到的问题和困惑，不断改进教学实践，是我们共同面临的研究课题。