有关０的困惑

（薛老师的问题：/userlog/349/archives/2006/92040.shtml）

1.０是自然数吗？

从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来是有争议的，建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。

所以近几年进行的中小学数学教材，根据上述国家标准进行了修订。规定为是自然数。就象规定我们平时说的分钟、小时在书写时要写成分、时一样，与我们长期的习惯不一致，老师们感到别扭也是可以理解的。有的出版物没有按规定改，是它们的原因，我们不能抱怨现在“遵了纪，又守了法”的小学教材。

2．研究倍数为什么把0排除在外？

在约数、倍数等概念中都不包括0。在小学阶段讨论倍数问题时，为什么把0排除在外？因为若包括0，说0是任何数的倍数，那么2，8的最小公倍数是多少？任意两个数的最小公倍数都是0了，研究最小公倍数的就没有意义了。不把0排除在外会带给我们很多麻烦。

3.“0是否为2的倍数？”、“2是否为0.2的倍数？”、“0是否为偶数？”、“0.2是否为偶数？”

老师们问到的“0是否为2的倍数？”、“2是否为0.2的倍数？”、“0是否为偶数？”、“0.2是否为偶数？”这些都是与因、倍数有关。

讨论奇偶性这样的问题，要看范围，有的老师说到初中会说0是偶数，其实初中也不系统研究数的奇偶性，有的教材只是在学习了代数式之后，给出奇偶性的一般的表示方法：2 n和2n＋1，由此可知，像0，－2，－4也是偶数，但不是我们小学研究的范围。虽然在初中给出一般形式，但很多初中生或老师也会有很多人不知道－2，－4也是偶数，人们关注的不是－2，－4是什么，而是更关注共性的东西。另外，说0，－2，－4也是偶数，是人们的一种规定，而这种规定实在不是什么重要的问题，因为这种规定的初始并不是针对0和负数而规定的。

在数学上，所有2的倍数所组成的集合称为偶数，0是2的倍数，所以0也是偶数，－2，－4，等也是偶数（同样，这是在数学中的规定）；0.2不是2的倍数，所以0.2不是偶数，在小学阶段，由于讨论倍数问题时，并不包含0，因此，在小学阶段，也不讨论0是否为偶数这样的问题。作为老师知道是可以的，但不要考这样的问题，也请老师们向上级的有关教研部门反映情况。

（附：下文较难懂，可以不看：

在数学上，如果a是b的倍数，则a，b这两个数要满足下列三个条件：

(1)a，b都是整数；

(2)b≠0；

(3)存在一个整数q，满足a＝b×q。

由上述的条件限制可以看出，因为0＝2×0， 0是整数，所以，0是2的倍数，显然，0也是任意整数的倍数，但这是在数学上的规定，在小学阶段学生不好理解，所以我们在小学阶段将0除外。而2不是0.2的倍数，因为0.2不是整数。）

4、“甲是乙的倍数” 与日常生活中谈论的“甲量是乙量的几倍”意义有什么不同？

在小学阶段讨论“甲是乙的倍数”时，指的是甲、乙两个正整数，满足甲数除以乙数的商数也是正整数，且余数为0，这与日常生活中谈论的“甲量是乙量的几倍”意义不同，日常生活中所指的几倍是数量上的多少倍，甲量或乙量并不一定要是整数，两者间也不一定要满足整数倍的关系，例如我们常说1公斤甲物的重量是2公斤乙物的0.5倍，但是1不是2的倍数，我们也常说2米的绳长是0.5米绳长的4倍，但是2也不是0.5的倍数，因为0.5不是整数。

另外，理解教材“是2的倍数的数叫偶数。不是2的倍数的数叫奇数”不能离开具体的情境，教材是在整数范围内说的。2.1不是整数，当然也不是奇数。

顺便说几句，既然数学界长期以来对０是不是自然数争议不休都没有影响数学的发展，这也说明这样的问题并不是数学的本质问题，希望老师们不要在这样的问题上难为我们的孩子，少给学生出这样的问题，让他们能有更多的精力学习更有价值的内容上。从数学上看，这种问题是数论里的问题，对于小学生让他们了解一点就可以了，因为这样的问题太难，我们可以想一想，我们自己以及学生是怎样掌握什么是合数的？价值有多大？到了大学学习数论知识书名也还是《数论初步》。

（任景业）

无论是新老教材都提到,在非0的自然数中探究因数,倍数,奇数和偶数,那么即使0能被2整除,我们也说,0不是偶数.
这是多次以判断题出现的题目,我们就这样解释给学生听,才便于接下来要学习的内容.

是的，我们老师缺的东西很多。刚写了一点感受。

一叶轻舟老师
你好！
非常赞同你的理解。教学内容的选择既要考虑其价值，又要考虑学生的谁知特点和接受能力。通过这样的问题的讨论，我们可以更好地理解“人人学习有价值的数学 ”“人人学习不同的数学”，虽然有人对此有异议，但我现在是认可的。价值是相对的，随着不同的人，不同的时间而呈现不同的价值，对于义务教育阶段的学生，尤其是小学生，让他们去学习这样的问题我认为价值不大。但这种问题我们当时不考虑，并不是说以后永远不考虑，随着学生以后学习的增加，这样的问题也许会成为某些人的研究方向。我们可以将其连同我们解决不了的问题存入学生的“问题银行”。告诉学生，这样的问题，现在老师或数学家还不能给你们完美的答案，等你们上了中学，大学，成了数学家，你们也许会找到令世人满意的答案。数学上还有许多这样无人能上的高峰，等着你们去征服。
我教学时，遇上这样的问题，是这样处理的，不知道你同意吗？
欢迎你参与讨论。

对倍数和因数概念教学的一点思考

以前我们教学因数（约数）和倍数时，都是从整除概念找到切入点的。

两数相除，如果用字母表示，可以这样说：

整数A除以整数B（B不为0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说A能被B整除（也可以说B能整除A）。

如果A能被B（B不为0）整除，A就叫B的倍数，B就叫A的约数（或A的因数）。倍数和约数是相互依存的。

在北师大教材中倍数和因数的概念都是从乘法中找到切入点。

5*4=20，20是4和5的倍数，4和5是20的约数。

教材这样编排，我一直也思考，这样的编排出发点是什么呢？到底那种学生更易接受呢？显然，约数是为约分做准备的。在北师大教材中，没有再提到约数，只用因数这个词。我讲完前三节后，做了一个小小的复习，让学生回忆一下在数的世界里，你都认识了哪些新朋友。学生开始呈现一对一对的词：自然数和整数，倍数和因数，奇数和偶数。我问：“什么是倍数什么是因数呢？”学生说：“那我必须举例才能说明。”我说：“好！欢迎举例说明。”学生纷纷回答：“4*5=20，4和5 是20的因数，20是4和5的倍数……”后来有个学生说：“A*B=C，AB就叫C的因数，C就叫和B的倍数。”我欣喜之余大大夸赞，补充说，为了不出现不必要的麻烦，我们规定ABC都是不为0的自然数。我说：“我还真担心你们开始接触，记不住这些好朋友的名字呢？”学生回答说：“怎么会呢，比如4和5以前在乘法算式里的名字就叫因数，只是现在要说清它们是谁的因数”

从这里可看出，用乘法的情境来导入因数和倍数概念，学生更易理解接受。不在出现学生难以描述的概念，学生通过自己的理解来描述，达到了知识的真正内化。