谈新一轮数学课程改革
——1999年底在大庆数学教师培训班上的报告（5）
刘兼
编者按：这篇报告是大庆教育科学研究所一位热心认真的老师们经过一个多星期的紧张工作整理而得。现在将这篇报告登出，以供老师们交流讨论。
五
八、要重新认识数学
1重新估价未来社会对公民数学修养的需求
信息时代，社会需要我们每个人学会收集信息、加工处理信息、做出判断、进行决策。数学教育要培养学生这么一种基本能力：收集、加工、处理数字和图形信息，做出判断，进行决策。这是我们数学教育应该给予足够重视的问题。这个事情我们原来忽视了。像前面我谈到的美国人所做的测试题中大量是这种事情：给你一个场景，在这个场景中间你自己要搜集那些跟解决这个问题有关的信息。一个人投标，在投标时有几发中了靶的中心，有几发打在了中间环，有几发是打在外环上，这就是收集信息，这些信息哪些是和解决这些问题有关？然后我看打在中间环的，每打一个是多少分，打在外环，每打一个多少分，这也是收集信息。然后做处理，解决问题，整个就是这么一个过程。所以我们要对学生从小进行这么一种能力的熏陶。这种能力是你终身有用的，可以叫终身可持续发展的能力，而不是传统意义上的计算能力、逻辑推理能力和空间观念，不是过去一般意义上的数学三大能力。
2数学是丰富多彩的
今天的数学发生了什么变化？这个话题当然是一个非常复杂的话题，由于时间关系，我把它简化一点来谈这个问题。我们的数学绝对不仅仅是数与计算。我们对老师做过调查，老师对数学想像的是什么呢？我们对两百名中小学数学教师以及大学数学系的研究生进行调查，问题是：当你看到“数学”这一个词你首先想到的是什么？大家可以看看这个调查的结果。
调查的结果是：76%的人首先想到的是计算、公式、法则、证明；20%的人想到的是烦、枯燥、没意思、成绩不及格；4%的人回答数学使人聪明、有趣、有用。
调查的不是普通公众，而是中学教师和大学数学系学生，调查的结果是这么一个分布状况。不同的人，不同的数学观念，就会产生不同的数学教学行动。如果我的观念是数学是计算、公式、法则、证明，我的课堂就是讲计算、讲公式、讲法则、讲证明；如果我的头脑是数学很烦、很枯燥，我的情感就会自然流露，就会影响到我的学生；我们头脑里边是数学有趣、有用，我的课堂就会尽可能地把数学与学生已有的生活经验建立联系。不同的观念将会直接影响教师不同的课堂教学行为。
那我们如何认识数学？数学是丰富多彩的，绝对不只是简简单单的计算、公式、法则的问题，有计算的问题，有图形的问题，有许许多多很丰富的内容。而我们现行的小学数学课程中间有75％~85％都是计算以及传统的算术应用题；有不到20％的内容是几何，那几何还是计算长、周长、面积和体积；有5％的内容是统计，统计还是计算。统计的基本思想在我们教材中间难以体现，学生没有统计过程，没有统计思想，还是计算。所以我们小学数学基本围绕计算做文章，这样我们不得不思考，
不得不重新认识数学，数学有它很丰富的背景。信息时代的产品是个性化的，是更适合每个人的带个性色彩的产品。无论是自行车，还是汽车、飞机。原理虽不像我说的这样简单，但道理都一样，都是利用数学表示客观世界，然后进行数值模拟，建立模型。收集客观的资料、根据信息做分析，抓住影响这个事情的主要因素，最后建立成一个数学模型，模型当然有线性的和非线性的。以后在实践的过程中间进行调整、修改，这是现代人在计算机基础上运用数学的一种非常有效的、非常有利的手段。现代数学家、现代工程技术人员就是这么运用数学的。因此，现代人生产一批产品，所需时间，投放的人力物力
的缩减，是因为计算机的使用，是因为借助了数学模型的建立这么一个基本工程，用数字、图形来表示、刻画客观世界，找关系，建模式。
现代数学有这么一种特征，它跟我们传统的计算、公式、证明、法则不同，已经发生了巨大的变化。根据观察问题做一个猜想，建立一个模型，然后修改、调整这个模型，最后一般化，成为现代数学家以及现代应用数学家、工程技术人员运用数学一个最基本的过程。这种思维方式跟老百姓的思维方式是完全一样的，跟现代人基本思维方式是一样的，所以我们在数学课堂上应该鼓励学生去观察、去猜想、去建立模型，把建立的模型一般化，然后再进行修整。如果有可能，让学生把一般化的公式加以证明，不是过去那种给一个公式然后计算。我们希望在小学数学课堂中，更多地出现这样一个基本过程：学生自己去观察，学生自己去发问、去思考、集体去讨论，在这个过程中得到一个猜想，大家共同来修改，最后形成一个一般的法则，形成一个一般的公式，找到一个一般的关系，一般的模式。我们鼓励课堂更多的是这样的一种数学活动，这种教学活动跟我们谈的，举的那两个例子，是相一致的，找到一个二元函数，这就是一个数学模型。用数学来刻画现实世界，建立一个数学模型，让学生理解生活，理解数学，而且体会数学的一个基本过程。
3数学应面向每一个人
数学应面向每一个人，即所谓的大众数学：人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。我们的基本思路有三句话：第一，以反映未来社会公民所必需的数学思想方法为主线，选择和安排数学内容。第二，这样的内容应与学生年龄特征相适应，应大众化、生活化，要让我们的学生看到有趣的、很现实的数学。这是教材编写的原则。第三，使学生在活动中，在现实生活中学习数学，发展数学。这实际上也是我们课堂上的教学原则。
我们教师在这个基础上应该把握一个核心两条线索。新一轮课程的核心是创造适合于儿童发展的数学。在这个基础上两条线索：一条是现实化、生活化；另一条是儿童的主动探索、合作学习。
我们要创造适合于儿童学习的数学，这种数学是现实的，是生活化的，是活动的，是操作的，是儿童可以做的。目的是要促进每一个学生发展，使得学生在自主学习、合作探索的基础上得到良好的发展，在这个基础上获得自信，获得成功，具有成就感。
九、重新认识学生的学习过程
1学习过程的主要形态
学生的学习是一个自主探索与他人合作学习为主要形态的学习过程。心理学家和人工智能专家研究的结果表明，我们人类的一生分为三大段：一个是在6岁以前，一个是6~18岁，一个是18岁以后。人从生下来到6岁，儿童是怎么认识世界的呢？都是经过一种自主探索，一切都是通过自己的直接经验。你说这个水“烫”，他不知道；摸了之后“热”，跟你说的那个“烫”联系起来，他才明白，原来“烫”是这么回事。我没有体验，你说“烫”那是没用的，跟没有说一样，所以需要让他体验。孩子有一种与生俱来的以自我为中心的探索性学习方式，这是天生的。他是以这种方式去认识周围世界的，这是6岁以前。18岁以后，我们是一个成年人，成年人所需要的思维方式，当然也是一种自主探索的，需要自己独立去思考，需要你自己去探索，需要你自己跟周围世界合作。我刚才已经举过大量的这样的例子，即使在我们日常生活中间也是如此，例如说暑假结束的时候学校发奖金，给你发了三百块钱，你说你想买一套衣服。买衣服一定要货比三家，这个过程就是自己去探索、自己去搜集信息的过程。从几处不同的商场去选择同类型的商品，在这个过程中间，经过价格、式样方方面面的比较，最后做出决策，我决定买这套衣服。这个过程是自主的，是收集信息、加工处理信息，自己进行判断的，最后做出决策。成人走向社会，无论学习、工作、还是生活，都是用自主的、探索的、与周围世界合作的这么一种方式，去解决所遇到的问题的。但是惟独在学校教育阶段，我们现行的学校教育没有给学生建立这么一种自主探索、合作学习的方式，学生没有机会。
2学习方式比知识本身更重要
我们在1996年、1997年曾经做了一个调查，在这个调查中，有这么一个问题，问学生：你有没有经历这样的事情，老师给了你这样一道问题，让你自己到街上查资料，让你自己到农村去考察，然后让你写一个调查报告，回到班上介绍。调查结果：90%的学生不但没有经历过，而且连听也没有听说过。说学习居然还可以这么做，给了一个问题，老师不讲，让我自己去调查，去报告。学生在学校9年、12年的学习期间，从来没有体会过自主的、探索的、合作的这么一种学习方式。因此讲，知识固然很重要，但是与学习方式相比，学习方式更重要。不同的学习方式，决定着你对人类知识不同的看法。如果你从小是接受、模仿、死记硬背，那么你的行为、你对知识的判定就是惟一的，书上写的就是对的；如果你从小是自主的、探索的、批判性的学习，就可能对知识作出自己的解释，做出自己个人的判断。不同的学习方式会影响学生对知识的看法，以及他的生活方式，会影响他将来科学研究的基本态度。因此学习方式比知识本身来得更重要。我们新一轮课程改革，在很大程度上是要改善学生的学习方式，增加自主的、探索的、合作的学习方式，使学生获得一种终身发展的能力。
3学会尊重学生的差异
大家知道心理学100年发展有几个阶段，首先是本世纪初期，行为主义心理学；然后20世纪中叶，认知主义心理学；再到80年代叫建构主义心理学。各有各的代表人物，但是不管什么样的心理学派，有一点是达成共识的：人有不同的遗传素质，不同的家庭背景，不同的人文环境，这就决定着人的思维方式不同，人的知识背景不同，人的生活经验不同，看问题的出发点、角度也就不一样。心理学研究表明，影响学生学习质量的因素有老师的因素、课程的因素，还有一个很重要的因素是学习者自身的因素。其中学习者自身因素中三个最主要的方面是：思维方式、知识背景、生活经验。因为这些方面的不同，所以学生学习产生差异是很自然的事情，是非常正常的事情。教师应该学会尊重学生的差异，理解他的差异，要知道他这种差异是由什么样的背景造成的。我们要善于充分利用学生已有的生活经验和原有的知识背景，为我们的课堂教学服务。
十、探索课堂教学的新形式
1美国小学教育
这里我还要介绍一篇文章《我所见到的美国小学教育》，发表在《读者》1996年第6期上。
当我把9岁的儿子带到美国，送他进那离公寓不远的美国小学的时候，我就像是把自己最心爱的东西交给了一个我并不信任的人去保管，终日忧心忡忡。这是一种什么样的学校啊！学生可以在课堂上放声大笑，每天最少让学生玩两个小时，下午不到3点就放学回家，最让我开眼的是根本没有教科书。那个金发碧眼的女老师看了我的儿子带去的中国小学四年级的课本后，温文尔雅地说：“我可以告诉你，6年级以前，他的数学不用学了！”面对她充满善意的笑脸，我就像挨了一闷棍。一时间，真怀疑把儿子带美国来是不是干了一生中最蠢的一件事。日子一天天过去，看着儿子每天背着空空的书包兴高采烈地去上学，我的心就止不住一阵哀伤。在中国，他从一年级开始，书包就满满的、沉沉的，从一年级到四年级，他换了3个书包，一个比一个大，让人感到“知识”的重量在增加。而在美国，他没了负担，这能叫上学吗？一个学期过去了，把儿子叫到面前，问他美国学校给他最深的印象是什么，他笑着送给我一句美国英语：“自由！”这两个字像砖头一样拍在我的脑门上。
此时，真是一片深情怀念中国的教育。似乎更加深刻地理解了为什么中国孩子老是能在国际上拿奥林匹克学习竞赛的金牌。
不过，事到如此也只能听天由命。不知不觉一年过去了，儿子英语长进不少，放学之后也不直接回家了，而是常去图书馆，不时就背回一大书包的书来。问他一次借这么多书干什么，他一边看着那些借来的书一边打着微机，头也不抬地说：“作业。”
这叫作业吗？一看儿子打在计算机屏幕上的标题，我真有些哭笑不得——《中国的昨天和今天》，这样天大的题目，即使是博士，敢去做吗？于是我严声厉色地问是谁的主意，儿子坦然相告：老师说美国是移民国家，让每个同学写一篇介绍自己祖先生活的国度的文章。要求概括这个国家的历史、地理、文化，分析它与美国的不同，说明自己的看法。我听了，连叹息的力气也没有，我真不知道让一个10岁的孩子去运作这样一个连成年人也未必能干的工程，会是一种什么结果？只觉得一个10岁的孩子如果被教育得不知天高地厚，以后恐怕是连吃饭的本事也没有了。
过了几天，儿子完成了这篇作业。没想到，打印出的是一本20多页的小册子，从九曲黄河到象形文字，从丝绸之路到五星红旗……热热闹闹。我没赞扬，也没评判，因为我自己有点发懵，一是我看到儿子把这篇文章分出了章与节，二是在文章最后列出了参考书目。我想，这是我读研究生之后才运用的写作方式，那时，我30岁。
不久，儿子的另一作业又来了。这次是《我怎么看人类文化》。如果说上次的作业还有范围可循，这次真可谓不着边际了。儿子很真诚地问我：“饺子是文化吗？”为了不误后代，我只好和儿子一起查阅权威的工具书。费了番气力，我们总算完成了从抽象到具体又从具体到抽象的反反复复的折腾，儿子又是几个晚上坐在微机前煞有介事地作文章。我看他那专心致志的样子，不禁心中苦笑，一个小学生，怎样去理解“文化”这个内涵无限丰富外延又无法确定的概念呢？但愿对“吃”兴趣无穷的儿子别在饺子、包子上大做文章。在美国教育中已经变得无拘无束的儿子无疑是把文章作出来了，这次打印出来的是10页，又是自己的封面，文章后面又列着那一本本的参考书，他洋洋得意地对我说：“你说什么是文化？其实特简单——就是人创造出来让人享受的一切。”那自信的样子，似乎他发现了别人没能发现的真理。后来，孩子把老师看过的作业带回来，上面有老师的批语：“我布置本次作业的初衷是让孩子们开阔眼界，活跃思维，而读他们作业的结果，往往是我进入了我希望孩子们进入的境界。”问儿子这批语是什么意思，儿子说，老师没为我们骄傲，但是她为我们震惊。“是不是？”儿子问我。我无言以对，我觉得这孩子怎么一下懂了这么多事？再一想，也难怪，连文化的题目都敢做的孩子还有不敢断言的事情吗？
儿子六年级快结束的时候，老师留给他们的作业是一串关于“二次大战”的问题。“你认为谁对这场战争负有责任？”“你认为纳粹德国失败的原因是什么？”“如果你是杜鲁门总统的高级顾问，你将对美国投放原子弹持什么意见？”“你是否认为当时只有投放原子弹一个办法去结束战争？”“你认为今天避免战争的最好办法是什么？”……如果是两年前，见到这种问题，我肯定会抱怨：这哪是作业，分明是竞争参议员的前期训练！而此时，我能平心静气地寻思其中的道理了。学校和老师正是在这设问之中，向孩子们传输一种人道主义的价值观，引导孩子们去关注人类的命运，让孩子们学习高屋建瓴地思考重大问题的方法，它的答案，有些可能需要孩子们用一生去寻索。看着12岁的儿子为完成这些作业兴致勃勃地看书查资料的样子，我不禁想起当年我学二战史的样子，按照年代事件死记硬背，书中的结论明知迂腐也当成圣经去记，不然，怎么通过考试去奔光明前程呢？此时我在想，我们在追求知识的过程中，重复前人的结论往往大大多于自己的思考。而没有自己的思考，就难有新的创造。
儿子小学毕业的时候，已经能够熟练地在图书馆利用计算机和缩微胶片系统查找他所需要的各种文字和图像资料了。有一天我们俩为狮子和豹子的觅食习性争论起来。第二天，他就从图书馆借来了美国国家地理学会拍摄的介绍这种动物的录像带，拉着我一边看，一边讨论。孩子面对他不懂的东西，已经知道到哪里去寻找答案了。
儿子的变化促使我重新去看美国的小学教育。我发现，美国的小学虽然没有在课堂上对孩子们进行大量的知识灌输，但是，他们想方设法把孩子的眼光引向校园外那个无边无际的知识的海洋，他们要让孩子知道，生活的一切时间和空间都是他们学习的课堂：他们没有让孩子们去死记硬背大量的公式和定理，但是，他们煞费苦心地告诉孩子们怎样去思考问题，教给孩子们面对陌生领域寻找答案的方法；他们从不用考试把学生分成三六九等，而是竭尽全力去肯定孩子们的一切努力，去赞扬孩子们自己思考的一切结论，去保护和激励孩子们所有的创造欲望和尝试。
有一次，我问儿子的老师：“你们怎么不让孩子们背记一些重要的东西呢？”老师笑着说，“对人类的创造能力来说，有两个东西比死记硬背更重要：一个是他要知道到哪里去寻找所需要的比他能够记忆的多得多的知识；再一个是他综合使用这些知识进行新的创造的能力。死记硬背，既不会让一个人知识丰富，也不会让一个人变得聪明，这就是我的观点。”
我不禁想起我的一个朋友和我的一次谈话。他学的是天文学，从走进美国大学研究生院的第一天起到拿下博士学位整整5年，一直以优异的成绩享受系里提供的优厚的奖学金。他曾对我说：“我很奇怪，要是凭课堂上的学习成绩拿奖学金，美国人常常不是中国人的对手，可是一到实践领域，搞点研究性题目，中国学生往往没有美国学生那么机灵，那么富有创造性。”我想，他感受的可能正是两种不同的基础教育体系所造成的人之间的差异。中国人太习惯于在一个划定的框子里去施展拳脚了，一旦失去了常规的参照，对不少的中国人来说感到的可能往往并不是自由，而是惶恐和茫然。
我常常想到中国的小学教育，想到那些课堂上双手背后坐得笔直的孩子们，想到那些沉重的课程、繁多的作业、严格的考试……它让人感到一种神圣与威严的同时，也让人感到巨大的压抑与束缚，但是多少代人都顺从着它的意志，把它视为一种改变命运的出路。这是一种文化的延续，它或许有着自身的辉煌，但是面对需要每个人发挥创造力的现代社会，面对明天的世界，我们又该怎样审视这种孕育了我们自身的文明呢？
什么是教学？教学就是学生尽快摆脱教师的过程，反过来讲就是学生尽快增强独立性的过程。课堂教学从哪里出发?从现实问题出发，从儿童的经验出发。好的课堂教学要善于抓住现实问题，抓住儿童的经验，在这个基础上展开数学活动，这一点是非常重要的。
我想我们新的课程，大致就是这么一个框架，创造适合于儿童学习的数学，旨在促进每一个人的发展，通过现实化、生活化的数学，使得学生在生活中主动探索，合作学习；使得他们在学习数学的同时，体验成功，获得自信，获得对数学的兴趣，
这是关于数学课程的一个基本概貌。当我们老师在实验过程中遇到疑问的时候，我希望你们能回过头来看看这个思路，用这个思路来武装你，来思考遇到的疑问。
2拿几节课作比较
（1）画苹果
这儿有一间教室，一分两半，那边是美国的教师和学生，这边是中国的教师和学生，他们的任务都是画苹果。
美国的老师第一个反应是赶快找辆车，把学生拉到苹果园中，让学生到苹果园去尽情地玩耍，一节课大概有25分钟是在苹果园里，大家玩尽兴了，再开车把学生拉回来。然后老师布置作业：现在你们把手上的苹果画出来。画了一段时间后，让学生彼此交流，是怎么画的，然后再画一次，这是美国老师在课堂上做的事情。
中国的老师拿实物，拿图片，让学生看老师怎么画，有若干注意事项，然后要
求学生照着老师的方法去画。最后，拿这两个班画的苹果一比较，结果，中国的学生画得最好。但是谁的收获大呢？
(2）学做蛋糕
在一个厨房里面教学生做一些点心，中国老师开始上课。老师先说：“同学们，今天我们要学做蛋糕，注意看图片，蛋糕是什么样子？先拿一个面包，然后在上面铺一层奶油，奶油上面再加一些水果，再加一些奶油，上面又是一块面包，这么垒起来，最后做成一块蛋糕。每4人组成一个小组，到厨房里面做蛋糕。厨房里面还挂若干个条幅，上面把每一步注意事项写得很清楚。老师还要不停地叮嘱。
德国老师开始上课，先问：“小朋友，喜欢过生日吗？”同学们回答：“喜欢！”“为什么？”“可以吃蛋糕。”“你们想做蛋糕吗？”“想！”“好了，你们出去吧，每个人都去调查，可以到图书馆查资料，也可以到街面上面包房去看，可以回家问父母，你们之间还可交流。”通过这些，学生可以认识蛋糕的各种品种，并要求学生做一个自己喜欢的蛋糕。
我刚才讲了，谁的收获大，我们再回过头来看一下画苹果的事，我们中国的老师教得很清楚，中国的学生画得很像，美国的学生从画苹果开始，或者从写1，2，3开始，老师就没告诉他怎么写的，都是靠自己去看，自己去查资料，他们的学生都认为学习是自己的事情。谁是学习的主人?当然是学生了。我们设身处地想一想，我们现在的学生是学习的主人吗？根本就不是！从学习内容到学习时间，到学习方式，到学习结果，一切都不是学生自己定的，每节课学什么，是老师定的，是教材定的。学生从没有体验到自己是学习的主人，而西方的教育可以充分使学生体验这样的事情。
（3）学习牛顿第二定律
我再举一个中学的例子，大家都学过牛顿第二定律。中国老师怎么教呢？今天我们学牛顿第二定律，牛顿第二定律怎么表示呢？除了讲，还是讲。西方人怎么上这样的课呢?老师会用5分钟时间做这么几件事：第一，介绍牛顿其人；第二，牛顿所诞生的时代，物理学的状况是什么？然后，把学生分成若干小组，让学生自己到图书馆查参考资料，第二天拿出报告，并回答：①牛顿第二定律解决的是什么问题？②牛顿第二定律适用的范围是什么？③物理学发展到今天，牛顿第二定律受到的挑战是什么？
这样的方式我们从来没有接触过，大家可以充分感受到这种方式是真正培养人才的方式，真正能使我们的学生走向独立学习的一种方式，所以我们说这种学习方式很重要。我希望我们的老师读一读《读者》中的那篇文章，不仅提供了具体的案例，而且还包含着现代的最基本的，最朴实的教育观念。教育的最本质的东西，最具有说服力的东西，可以在这篇文章中有所体现，如果我们能体验到这样一种现代教育观念，我们在运用这套新教材的过程中，遇到问题的时候，就能找到答案。
推荐支持站长
