谈新一轮数学课程改革
——1999年底在大庆数学教师培训班上的报告
（2）
编者按：这篇报告是大庆教育科学研究所一位热心认真的老师们经过一个多星期的紧张工作整理而得。现在将这篇报告登出，以供老师们交流讨论。
2金牌背后的思考
大家都说中国数学教学是好的，尤其是作为基础教育的数学教学。评估我们的小学数学教学质量，不少老师认为，我们的小学数学教学质量是好的。我也同样认为，我们小学数学教学质量不错，但是我们好，好在什么地方?我们出现问题，问题出在什么地方?第一个是我们的学生总体水平如何?第二个是我们的优秀学生总体水平如何?
(1)发展不均衡
我能得到的资料只有1990年的。1990年中国参加第二届国际教育进步成就协会的数学与科学比较测验。这是对13岁学生做的，因为他们刚从小学进中学，所以他们的状况实际也反映了我们小学生的状况。新闻报道的结果，我们数学是第一名。但是我们学生总成绩发展不均衡，试卷包含五个方面：(1)数与计算；(2)代数；(3)几何；(4)测量；(5)统计。我们学生在数、式、几何三方面确确实实得分第一，但是我们的学生在测量方面是5项中失分最多的，统计方面，在十几个国家里排倒数第五。
我们学生总成绩是第一名，但发展不均衡，表现在两个方面：一个是知识维度；另一个维度是我们学生在认知发展方面。认知发展分三个水平：运算、概念理解、问题解决。我们学生在运用数学解决问题方面，失分是最多的。这是我们得到的第一组数据。
(2)用时间做代价换来的
我们得到的第二组数据是，这次测验，除了一张试卷还有一个调查，这个调查有两个问题：一个是学生用于学习数学的时间，第二个是学生对数学的积极态度。
关于学习数学时间的调查分为：课内学习时间，课外学习时间。
课内学习时间：我们学生用于学习数学的课内时间的计量单位是每周多少分钟?调查结果是每周307分钟，6节课多一点。国际的平均时间是217分钟，也就是我们同龄人每周比国外同龄人坐在数学课堂要整整多90分钟。
课外学习时间：课外学习时间的调查有5个分支：1时以下，1～2时，2～3时，3～4时，4时以上。
调查结果：中国学生37%以上选择的是4时以上，大多数国家的大多数同龄人选择的是1时以下。
虽然我们这十年来，倡导素质教育，我用一句话评估，不知道老师能否接受，我们是素质教育的口号喊得很多，素质教育的书和文章写得很多，但是我们基础教育阶段的应试教育状况越来越严重。把这两个事情联系起来，我们得到这样一种结论：①我们的数学总成绩是第一名，但发展不均衡。我们的学生在测量、统计以及解决问题方面不理想。②我们学生的好成绩从某种程度上讲，是靠时间，是用时间做代价换取的，说得极端一点，是用学生生命的代价换取了一个所谓的数学好成绩。因为我们的学生从小学一年级到高中三年级，在整个12年时间有17%的时间用于数学学习，何况我们不包括超负荷的情况。
(3)对数学的积极态度远远不够
在这个调查中，学生对数学的积极态度问题分4个分支来分析：你是否愿意上数学课?你是否愿意接触数学老师?你是否愿意读与数学有关的书?你是否愿意和同学交流与数学有关的话题?
通过这四个问题了解学生对数学的积极态度，调查报告表明中国学生虽然数学成绩第一，但跟西方国家相比，正好出现一个剪刀差，成绩是好的，但积极态度不如西方国家。
我们也对大量老师做过调查，他们也希望孩子喜欢自己所教的学科，认为孩子对数学的兴趣比什么都重要。最近《北京青年报》登了一个长篇报告文学，汇文中学一名教师，他从初一教到高三，带了一个班。高考时全班只有一个学生考的是普通高校，剩下的学生考的都是重点高校。记者问他对教学的看法，他谈了两条：第一，学生们是有差异的，要承认他们的差异，他初中差并不一定高中差，他语文差并不一定数学差，他总有自己好的地方。(学生是有差异的，他是有机会发生变化的，他总处在变化过程中，你不要把他看死了，给他套上一个帽子，叫所谓的“差生”，这样的词最好不要说。学习有困难的学生，并不代表他一定就是最差，他只是暂时有困难。不同的人思维方式不一样，他在数学计算上困难，可能在几何上不困难；在测量上困难，可能在统计上不困难；不同的学生是有区别的。小学有困难，可能他中学不困难。不同学生思维方式不一样，背景不一样，发展潜能不一样，发展速度不一样，所以不要一锤定音。)第二，要注意保护学生的热情(我刚才讲叫积极态度)。记者先后采访他两次，他都讲过这句话“留得青山在，不怕没柴烧”。什么是青山，青山就是热情，就是人对所学知识的热情，没有比失去热情更可怕的了。据我们的调查，数学成绩很好，但明确表示不喜欢数学的中国学生大有人在。关于学生对数学的积极态度，中国学生虽然成绩是好的，但对数学的积极态度不如西方国家。
3我们的优秀学生总体水平
我们的数学优秀人才(包括其他学科的人才)究竟怎么样?我介绍份材料。
1992年11月我们开了一个数学家座谈会。座谈会上讲了这样一件事：在1992年9月份，北大数学系成立了一个数学实验班，这个实验班总共有20名学生，其中有4名是1992年参加数学奥林匹克竞赛的选手，剩下的16名是各省市高中数学联赛的前3名，且自愿上北大的。这样组成的实验班，在同龄人的中间绝对是佼佼者，是国内最优秀的尖子生。刚刚过去了两个月，四个奥赛选手怎么样呢?一个学生神经失常，第二个学生表示坚决要转系，他不能从事任何与数学有关的学习和工作，看到数学符号就头痛，另一个学生在班上一般，剩下的一个学生在班上还可以。刚刚过去才两个月就出现了这样的现象。大家都知道，奥林匹克的学生要花多少心血，从小学开始参加课外学习小组，经过几次选拔，再进华罗庚数学学校，然后在初中进行培训，进高中冬令营、夏令营再进行培训，最后参加国家集训队。请数学家给他们辅导，做了成千上万道题，费了千辛万苦，结果是这个走向，我们应怎样思考这样的事情。
去年物理奥林匹克竞赛在冰岛举行的。比赛之后，科学家们与获奖选手一起开了个座谈会。在座谈会上科学家们对获奖选手说：做了物理竞赛题了，竞赛组委会的专家在这，你们可以提问题。结果只有中国的学生没有问题，不少其他国家的选手都能提出问题。其中一个学生提的问题，被当时组委会的科学家称之为如果问题得以解决，将预示着物理学的一个突破。
据有关统计显示：数学家创造发明的最具生命力的年龄阶段是25岁到30岁左右，是数学家创造最高峰的时候，也就是说数学家主要成果是在25岁至30岁产生的。
我国是1978年开始参加数学奥林匹克竞赛的，当时的优胜者如果是18岁，现在应该是38岁到40岁，早已过了数学创造的高峰阶段。可是我们到今天还没有看到优胜者们在他的创造高峰期作出数学方面最具创造性的成果，并没有看到这样的事情。显然当我们说培养优秀学生的时候，要打个问号。我们优秀的学生在17，18岁以下，18岁以上的不行，可对于一个社会什么样的人群最重要?当他走向成熟的时候，当社会需要他对社会有所贡献的时候，他能有所建树吗?人的创造性充分自由地发展，要从基础教育做起，到了大学、研究生再进行发展，是不可想像的事情。基础教育阶段，是一个人发展的最重要的时期，这时一个人的生理、心理各方面属于发展阶段，九年或十二年的学习，在这期间的学习方式是什么样子，思维方式是什么样子，影响着将来。
四、中西方数学教育比较
1重新思考数学课程设置的深与浅
西方的课程里面，小学数学阶段所遇到的数学问题跟我们差别很大，通常像15+8这样的问题，在他们的小学三、四年级已经是相当难的计算题了。他们要发挥学生的作用，让他们用搭积木的方式：这儿有15块积木，还有8块积木，怎么把它们合并，得出23，这在他们小学三、四年级很具有挑战性。
今年上半年，有一个初一的中国学生到美国去，在美国的中学上课。因为刚出去，他的外语水平低，语言表达、交流都很困难。在别的课堂上他的表现一直很一般，没有被关注，可在数学课上却不一样。课上数学老师非常郑重地出了一个问题，说这个问题非常难，要认真思考。写到黑板上的是什么呢?是“3×7＝?”找了两个学生上去做了大半天也没做出来，后来叫到这个中国学生。中国的学生从容不迫地上去很随意在上面把21写了出来，别的学生都用非常惊讶的目光看着中国的学生。下课之后各个数学活动小组在做作业的时候，都纷纷希望他去参加，说他太厉害了，像这样的问题一下子就做出来了。
去年我们跟西欧的同行座谈，他们在1988年以前就规定：中小学学生不要求笔算12+13，不要求通分(虽然到今天，这在他们的学校里还有争议，可这个规定仍然执行)，不教学生这样的内容。那遇到这样的问题怎么办呢?用计算器!
北京理工大学叶其孝教授受邀请到美国的大学数学系给研究生讲数学建模课。有一个学生算的最后结果是49，作为结果写在作业本上，老师把这个学生叫过来：“你把这个结果算一算。”这个学生说：“老师，你等着。”飞快跑回到自己的座位，从书包里拿出计算器：“老师有了，等于7。”这样一个简单的问题，中国的中学生都知道，他们大学数学系的研究生竟然不知道。他们跟我们的学生相比，类似这样的计算技能，实在相差太大。
2由一个故事引起的思考
1998年2月26日《参考消息》报道，当记者采访英国分管教育的大臣：“大臣先生，7乘以8等于多少?”这个大臣哼哈一声：“我想想，7×8大概等于54吧。”
英国人(包括美国人)现在强调要加强基础，他们说他们的国民基本读写算能力太差了，分管教育的英国国务大臣说：“把7×8说成等于54，对于我们所有人都是一个教训，明天我要用1个小时来背诵并记住乘法口诀表。”英国首相布莱尔下令对英国学校的课程进行全面改革，要求每天至少要有2个小时用于基础教育的三要素读、写、算的练习。英国首相呼吁要加强基础教育，结果就是学生每天用于读、写、算的时间为两个小时，(再看看我们的学生每天有多少个小时用在读写算上?)下令让教师保证学生能够记住乘法的口诀表。
为什么像记住乘法口诀表这样的事情，在西方国家这样困难呢?这有它的文化背景，我们的1，2，3，4，5，6，7，8，9，这些阿拉伯数字，都是一种单音节的发音。而到英文里面，从1到9之间，有若干个英文字母，都是多音节发音的，多音节跟单音节是有区别的。我们的孩子，让他们在七八岁的时候记住7×8＝56，是很容易的。而到英文里面7×8＝56，就相当复杂。到了俄罗斯，要记住这个口诀，必须要编一首打油诗。每一个口诀要一首打油诗，才能把乘法口诀表记住。西方人在学记基本的九九表、20以内的加减的时候要比我们难很多。
我们看到，国际上这些发达的国家，他们的课程标准，在小学阶段要求学生在五、六年级掌握九九表。而我们的学生跟他们相比，完全不一样，因此这个材料在被介绍到中国大陆的时候，就会出现截然不同的观点。一种观点：人家英国人、美国人都在加强基础了，我们中国的优势就在基础教育上，中国的基础教育的优势不能放松，这是一种观点。还有另外一种角度让我们思考：第一，像英国一个分管教育的国务大臣7×8算出54来，但并没有影响他担任一个西方发达的工业化国家分管教育的国务大臣，而每一个中国老百姓7×8＝56都会背得滚瓜烂熟，但中国有多少高级的管理人才和科技人才?这事情值得我们思考。第二，我们要思考的：美国人、英国人所强调的加强基础是什么呢?是加强九九表。而类似九九表的事情对中国来说，是基础中间很有限的一部分，或者某种程度讲根本不是基础。中国学生在这些基本计算上，算得远远比他们复杂得多，要难得多。我们的学生论计算，无论是加减乘除运算，还是(到了初中高中)恒等变换代数式，比西方的国家远远要复杂得多。而另外一方面，可能人家会做的问题，我们不一定会做。
我给大家举个例子：在西方课程中间，会遇到什么事情呢?北京教育学院有一个老师，到美国去当访问学者，我们中国的留学生就跟这位老师讲，美国的基础教育尤其是数学教育是非常糟糕的，你到美国来学数学教育没什么好学的，一年对于你来说是个浪费。美国如此糟糕的基础教育，它是怎么支撑这么发达的经济、科技、文化、现代管理制度的，基础教育很糟糕，国家很发达，这是什么原因?有相当一部分人是这么设想的，美国靠着天然的经济条件，用那巨额资金，大量吸引包括中国在内的发展中国家的中小学学生到美国接受高等教育，然后支撑着美国科技、经济、文化发展。基础教育不行，就用钱从国外引进人。确实相当一批人才(包括中国)留在美国为美国工作。但美国国家统计报告表明，真正支持美国科技、文化、经济发展的人是美国本土所培养的人，美国的高精尖技术领域、航空航天领域，绝对不允许普通的华人去工作。你可以在他的数学、物理领域，一般的大学里面工作，但美国真正高精尖技术里面支撑美国最前沿研究的人，都不是中国或其他第三世界国家的人。还有一个数据，美国获诺贝尔奖的80%都是美国自己本土培养的。我们说美国基础教育很差，但支撑发达的美国经济、科技的人才又都是美国自己本土培养的。要反思，从这个背景上反思中国的基础教育问题，我们基础教育很好，但实际上并不真正具有创造性的后备人才。
3在美国中小学数学课堂上我们发现了什么
上面这位北京教育学院的老师，在查阅大量资料之后，深入地去看美国基础教育，美国的初一数学课学生们在学什么?有节数学课老师出了一组题目：
第一组题目：
5×5＝ 4×6＝ 8×8＝ 7×9＝
第二组题目：25×25＝ 24×26＝
第三组题目：如果38×38＝1444，(给了结果)那么37×39＝?你能不计算就得出结果吗?
从上面题中你发现了什么?
你能给出一个类似的例子吗?
你能用一般公式表示吗?你能对你的发现加以证明吗?(允许用计算器)
通过这样的题目，学生发现的是什么呢?n×n=n2，(n-1)×(n+1)=n2-1，也就是两个自然数的平方与比它少1与比它多1的自然数的乘积的结果相差1，就是这样的关系。学生可能5×7笔算不会算，但这个过程中，注重的是归纳、猜想，寻找规律，寻求证明，形成一般表达式，这是数学研究基本过程。我们的学生每道题都可以算得很好，但我们的教材没有引导学生去尝试从中间发现规律，发现模式。我说什么是数学，数学就是找规律，找关系，找模式，形成表达式，并加以证明。就是这么一个过程，小学有小学的，中学有中学的，逐层逐往上发展，而这个基本过程是数学的发现与创造的过程。美国数学教师重视过程，关注的是策略，关注的是数学研究的基本过程，研究的基本方法，而不仅仅要结论。同样是计算，他们的重心不是在计算本身的技巧上，而是具体在通过归纳、发现规律，要这个规律表达出来，并能对发现的规律进行证明。
我再说另外一节课，这节课是1989年美国《数学教师》杂志向全美的中小学数学老师推荐的，声称代表了90年代美国数学教育的典范。
这节课是这么展开的：
今天我们一起讨论一个问题，大家有没有想过这样的事情，我们都有跑步体验，为什么有的人跑得快，有的人跑得慢?有的学生说：“老师，谁个高谁就跑得快，谁个矮谁就跑得慢。”在这个时候老师没做任何判断，做了一个停留时间——等待。
这个“等待”非常重要，我们的教师要会做[HTH]延迟判断，[HTSS]让学生自己来判断，而不是老师作为一个法官来判断，这是我们的老师在课堂上要经常使用的一种策略。我们老师不要把自己知道的答案马上急于告诉学生，没有必要的。
随着教师的推延，马上就会有学生提出问题：“老师，不对，我们班××个子不高，但他跑得很快。”
学生举了一个例子，你不要小看这句话，实际上这句话经历了一个非常精彩的过程。前面是一个猜想，后面这是一个什么过程?这是对猜想推翻的过程，要想证明一个事情，举一百个例子不行，要想推翻一个事情，举一个例子就行了。可能这中间只有一两分钟的时间，但这一两分钟，学生经历了最基本的科学研究方法的熏陶。
随后学生又提出问题：“我们班有两个学生，他们的个子一般高，结果一个人跑得快，一个人跑得慢。”
这样的问题确实提得好，这就跟我们都是骑26的自行车，同样大小为什么有的人骑得快，有的人骑得慢?频率有高有低。单位时间内我比你的步子要多，所以我比你跑得快。这里面有高矮的问题、步频的问题。
老师把学生分成四个小组，干什么呢?让他们看1984年洛杉矶奥林匹克竞赛100米实况。
有句题外话，为什么他们看1984年的(当时是1989年)。为什么他不找1988年，因为1984年是美国人刘易斯拿得冠军，美国人这种所谓的爱国主义教育绝对不是我们老师在政治课上讲的，他们是在教学中间始终贯穿的，这跟日本人在进行他的爱国主义教育一样。日本人怎么教育?日本人把他的学生拉到中国的天安门广场，在天安门广场统计一个小时之内经过的小汽车中间有多少辆是日本人自己制造的。在中国的土地上，在黄金地段，在代表中国主权特征的天安门广场，统计通过的汽车有多少辆是日本人制造的。他们没有空头的爱国主义情绪、说教式的爱国主义教育。在西方包括美国这个国家，它的爱国主义教育是在日常的教育教学生活中间贯穿，是非常好的。
学生分成小组看百米录像，在这个中间能看到什么呢?
利用各种各样的设备，因为在美国，在西方，许多教室是功能教室，功能教室有大量参考书，大量器材，学生可以利用的。
学生首先把六名运动员每个人100米跑的时间从t1到t6记录下来；然后通过放慢镜头把每个运动员100米用了多少步记下，每个人的步数假设从m1一直到m6。
有了这两个数据，学生们做什么呢?
过程一，学生先算每个人的步距，用100米除以步数，就能得到每个运动员的步距。
每个人跨1步多大，这跟什么有关呢?这跟身高有关，所谓个儿高的人跑得快，因为身高就腿长，腿长步距就大。
每个人的步距有了，在这个过程中学生们发现，跑得最快的是刘易斯，但并不是步距最大的，就像刚才那位学生举的反例，个儿最高的人不一定跑得最快，在这场比赛中，个儿最高的人并没有拿第一名，而刘易斯拿了第一名。
过程二，用100米跑的步数m1，…，m6与时间t1，…，t6的比可以算出每个人的步频。
步频，每个人1秒跨了多少步。如果跨了150步，总共用9秒8，两数一除，我就知道1秒跨了多少步。有了步数，有了时间就可以算出步频。
于是有的学生猜测步频越大，跑得越快，结果发现，总体的状况是这样，步频比较高的人，他跑的成绩是比较好的。
一个人跑得快，都受哪些因素影响呢?是由两个因素影响的，步距与步频。这里出现是所谓的二元函数问题，这就是美国小学六年级讨论的问题。我不知道我们的老师怎么想，我们的学生五、六年级在做什么?他们美国的学生在做什么?
从这两个例子可以看出，我们的重心和他们的重心不完全一样。第一，学生可以很好地理解现实生活。如一个人跑得快慢最主要的因素是步距和步频，像这样的问题应该谁来研究?在我们国家应该是田径教练来研究，但它是美国小学数学六年级研究的题目。第二，学生更好地理解了数学。什么是数学，数学就是探索生活中的各种关系，建立模型，总结出规律。(二元函数就是一种模型，它有效地描述了现实生活中变量间的关系)在这一过程中，学生更好地理解数学——一个探索的过程，有了这一过程，对现实生活的理解，对数学的理解才会更深刻。
4走的不是一条道(看看他们的试卷)
在探索数学的过程中，让学生的基本能力和基本情感价值观自然形成。为了更好地说明这个问题，我这儿有一个材料，这个材料是美国纽约州立大学的一位教授七月份寄给我的，他负责纽约州四年级和八年级的测验，曾参加过全美数学课程标准的制定，他寄的是四年级和八年级的测验材料，他们的卷面有什么呢?
第一道题是计算题227+14，让你选择，有五个答案供你选择；第二道题是4×116，也给你五个选择答案。
在此之后剩下的几十道题中你再也找不到计算题了。
我们再看这道题：投标，扔到中间就得100分，扔到周围的圈里是10分，扔到外围的就是1分。有个小孩扔了12次，12次的情况都打在靶子上，扔到中间有3次，扔到周围圈的是4次，扔到外围的是5次，加起来是?选择答案(345分)。这次让学生在具体的情景之中作答。
像这样的题已经找不到我们常规计算题的影子了。
我们再看这道题：在这个罐子里面大概有40个小球，让学生去估算下面另一个罐子里的玻璃球，下面的高度相当于上面的3倍。上面是40个，下面相应的就是120个，是上面的3倍。
还有一道题目是这样的：一个盘子，里面堆了许多爆米花，有32个，看盘子中爆米花分布的样子也就占1/4，问如果把这个盘子装满的话，大概可以装多少爆米花?(32×4)
(给一个题材，让学生去估算。)
像这样的让学生在现实情景的体验中做的题目还有许许多多。如这样的题材：一个小朋友有6种不同颜色的彩笔，他用了其中1支彩笔给某个图形涂颜色，他用了哪支彩笔呢?这里有三个条件：第一，它的字母至少在3个以上，6个以下；第二，这个彩笔不在red旁边；第三，这支彩笔不是最后一个。请你猜出是哪一个。它们的颜色有yellow,red,blue,tan,pink,green,6支彩笔都有名称，并且都画在彩笔上。这支彩笔字母至少在3个以上，6个以下，这样就把red,tan排除，把yellow排除了。然后又说这枝笔不在red旁边，所以把blue也排除，第三个条件说这支彩笔不是最后一个，所以最后找到了pink。猜出后又问：他用的是哪支彩笔并说明你的理由，要求小学四年级学生进行推理的训练。
这样的问题后面还有好几道，他们不是不要求推理，只是这种推理用的是对于现实问题的推理。
像这样的试卷题目是很容易引出问题来的，这里面就有发现规律，发现模式的问题。学生可以有自己的理解，只要你能把它做出来，有合理的解释就可以，在这个过程中大大发挥了学生思维的灵活性，大大拓展了学生的思维空间。
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